4-ток
4-ток, четырёхток в специальной и общей теории относительности — лоренц-ковариантный четырёхвектор, который объединяет плотность тока электрических зарядов (или 3-вектор плотности тока любых других частиц) и объёмную плотность заряда (или объёмную концентрацию частиц).
- [math]\displaystyle{ J^{\mu} = \left(c \rho,\;\mathbf{j} \right), }[/math]
где
- [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света,
- [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — скалярная плотность заряда,
- [math]\displaystyle{ \mathbf j=\rho\,\mathbf{u} }[/math] — 3-вектор плотности тока,
- [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math] — 3-вектор скорости зарядов.
В специальной теории относительности локальное сохранение электрического заряда выражается уравнением непрерывности, которое означает равенство нулю инвариантной дивергенции 4-тока:
- [math]\displaystyle{ D \cdot J = \partial_{\mu} J^{\mu} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0, }[/math]
где [math]\displaystyle{ D }[/math] — 4-векторный оператор, называемый 4-градиентом и определяемый как [math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\; \mathbf{\nabla} \right) }[/math]. Здесь использовано соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам. Вышеприведённое уравнение можно короче записать как
- [math]\displaystyle{ J^{\mu}{}_{,\mu}=0 }[/math]
с обычным обозначением частной производной по данной координате как запятой перед соответствующим индексом.
В общей теории относительности уравнение непрерывности записывается так:
- [math]\displaystyle{ J^{\mu}{}_{;\mu}=0\,, }[/math]
где точка с запятой перед индексом означает ковариантную производную по соответствующей координате.
См. также
Литература
- Джексон Дж. Классическая электродинамика. — Москва: Мир, 1965.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля (Теоретическая физика, т. II). — Москва: Физматлит, 2003. — 536 с. — ISBN 5-9221-0056-4.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред (Теоретическая физика, т. VIII). — Москва: Физматлит, 2005. — 656 с. — ISBN 5-9221-0123-4.